Алгебра (Математика 1)

Извор: ВикиЕТФ

Скупови

Скуп нема дефиницију (дефиниција је реченица којом се уводи нови појам помоћу старог појма). Скуп је основни појам – обједињење неких делова у целину.

Начини дефинисања неког скупа:

  1. набројимо му елементе
  2. дамо опис како се до њега долази
Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): A = \left \{1,2,3\right \}
Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): P = \left \{2,4,6,\ldots \right \}
Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): P = \left \{x|x=2k, k\in\mathbb{N}\right \}


Понављање у скупу не чини ништа (следећа два скупа су иста):

Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): A = \left \{a,b,c\right \}
Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): A = \left \{a,a,b,b,b,c\right \}


Деф. Скуп B је подскуп скупа A ако сваки елемент скупа B јесте елемент из скупа A.

Деф. Празан скуп је скуп који нема елемената. Означава се са Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \emptyset .

Празан скуп је подскуп сваког скупа.

Деф. Партитивни скуп скупа A, P(A), јесте скуп свих подскупа скупа A.

пример:

Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): A = \left \{1,2,3\right \}
Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): P(A) = \left \{\emptyset,\left \{1\right \},\left \{2\right \},\left \{3\right \},\left \{1,2\right \},\left \{1,3\right \},\left \{2,3\right \},A\right \}

Полазни скуп има 3 елемента, а партитивни 8, то је 23.

Теорема. Ако је Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): |A| = n

(број елемената скупа A је n), тада је Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): |P(A)| = 2^n

.

Уређени пар: Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): (a,b)

- систем од два елемента. Уређени пар одређују сви елементи и њихов поредак је битан!

Теорема. Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): (a,b) = (c,d)

акко је Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): a=c
и Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): b=d

.

Деф. Декартов производ Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): A\times B

скупова A и B је:
Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): A\times B= \{(a,b) | a\in A, b\in B \}

(скуп уређених парова Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): (a,b)

таквих да је прва компонента из првог, а друга из другог скупа).

Деф. Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): A^2 = A\times A .

Деф. Уређена n-торка је Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): ((a_1,a_2,\ldots ,a_{n-1}),a_n)=(a_1,a_2,\ldots ,a_n)


Теорема. Две уређене n-торке Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): (a_1,a_2,\ldots ,a_n)

и Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): (b_1,b_2,\ldots ,b_n)
једнаке су акко је Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): a_1=b_1; a_2=b_2;\ldots;a_n=b_n

.

Деф. Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): A^n=A^{n-1}\times A , при чему је Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): A^1=A

(дефиниција математичком индукцијом).

Деф. Пресликавање (функција) Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): f

скупа A у скуп B, Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): f: A\rightarrow B

, јесте један подскуп скупа Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): A\times B

са следећим особинама:
  1. скуп првих компоненти (домен пресликавања) је скуп A
  2. ако Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): (x,y)\in f
и Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): (x,z)\in f
тада је Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): y=z


релација – било који скуп уређених парова
функција – релација код које су сви први елементи у пару (прве координате) различити

пример:

Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): A=\{1,2,3\}
Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): B=\{a,b,c,d\}
Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): f=\{(1,b), (2,c), (3,c)\}

Скуп A је домен (скуп оригинала). Скуп B је кодомен (скуп слика).

Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): b=f(1)
Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): c=f(2)=f(3)


Теорема. Два пресликавања Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): f

и Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): g
су једнака ако имају исте домене и ако је за свако x из домена Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): f(x)=g(x)
(принцип једнакости два пресликавања).

Деф. Пресликавање Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): f

скупа A у скуп B је “1-1” (инјекција) ако се различити оригинали увек пресликавају у различите слике.

Деф. Пресликавање Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): f: A\rightarrow B

је пресликавање “на” скуп B (сурјекција) ако је сваки елемент из скупа B слика неког елемента из A.

Деф. Пресликавање Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): f: A\rightarrow B

је обострано једнозначна кореспонденција (бијекција) ако је истовремено “1-1” и “на”.

Деф. Нека је Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): f: x\rightarrow y

и Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): g: y\rightarrow z

. Композиција пресликавања Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): f

и Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): g
јесте пресликавање Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): h: x\rightarrow z
дефинисано са: Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): h(x)=(f\cdot g)(x)=(f\circ g)(x)=g(f(x))

.

Теорема. (особина асоцијативности)

Ако је Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): f: X\rightarrow Y

, Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): g: Y\rightarrow Z

и Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): h: Z\rightarrow Q

, тада је Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): (f\cdot g)\cdot h=f\cdot (g\cdot h) .

Деф. Идентичко пресликавање скупа X, одређено је са: Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): (\forall x\in X) f(x)=x

(сваки елемент се слика у самог себе).

Деф. Ако је Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): f: X\rightarrow Y

и ако постоји пресликавање Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): f^{-1}: f(x)\rightarrow X
тако да је Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): f\cdot f^{-1}
идентичко пресликавање скупа X и да је Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): f^{-1}\cdot f
идентичко пресликавање скупа Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): f(x)

, каже се да је Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): f^{-1}

инверзно пресликавање пресликавању Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): f

.

Ако је Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): f

1-1 пресликавање тада постоји инверзно пресликавање и оно је јединствено.

Деф. Бинарна релација (однос, сродство, особина) Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \rho

скупа A јесте свако пресликавање Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \rho \in \{jeste,nije\}

. Другим речима, бинарна релација скупа A јесте сваки подскуп скупа Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): A^2 .

Ако пар Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): (x,y)\in \rho

кажемо да су x и y у релацији Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \rho
и пишемо: Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): x\rho y

.

Деф. n-арна релација је свако пресликавање у Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): A^n .

Деф. Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \rho

је рефлексивна ако је Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): (\forall x\in A) x\rho x

.

Деф. Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \rho

је симетрична ако из Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): x\rho y
следује Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): y\rho x

.

Деф. Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \rho

је антисиметрична ако из Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): x\rho y
и Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): y\rho x
следује Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): x=y

.

Деф. Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \rho

је транзитивна ако из Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): x\rho y
и Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): y\rho z
следује Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): x\rho z

.

Деф. Рефлексивна, симетрична и транзитивна релација је релација еквиваленције.

Деф. Рефлексивна, антисиметрична и транзитивна релација је релација парцијалног уређења.

Општа алгебра

Кејлијева таблица
Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \circ a b c
a b a c
b b b b
c c c a

Деф. Бинарна операција у скупу A јесте свако пресликавање Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): f: A^2\rightarrow A .

Деф. n-арна операција Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): f

у скупу A јесте свако пресликавање Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): f: A^2\rightarrow A

.

Деф. Уређен пар скупа G и бинарне операције Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): f

у скупу G назива се групоид.

Таблица операције (Кејлијева таблица):

Операција Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \circ

је у скупу, па можемо добити само Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): a,b,c

.

Деф. Ако је Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): (\forall x,y\in G) x\circ y = y\circ x , операција је комутативна.

Деф. Ако је Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): (\forall x,y,z\in G) x\circ (y\circ z) = (x\circ y)\circ z , операција је асоцијативна.

Ако су Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): x,y\in G , где је Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): (G,\circ)

групоид и ако је Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): x\circ y = y\circ x

, x и y су пермутабилни елементи.

Деф. Групоид чија је операција асоцијативна назива се асоцијативан групоид или семигрупа.

Деф. Нека је Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): (G,\circ)

семигрупа. Природан степен елемента Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): a\in G
дефинисан је са Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): a^n=a\circ a^{n-1}, a^1=a, n\in \mathbb{N}

.

Дакле Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): a\circ a^{n-1}=a^{n-1}\circ a , али то није последица комутативности, већ асоцијативности.

Деф. Ако у групоиду Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): (G,\circ)

постоји елеменат Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): e'\in G

, тако да Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): (\forall a\in G) e'\circ a = a , тада је Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): e'

леви неутрални (јединични, нулти) елемент групоида Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): (G,\circ)

. Аналогно се дефинише десни неутрални елемент.

Теорема. Ако у групоиду постоји леви неутрални елемент Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): e'

и десни неутрални елемент Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): e''

, онда су они једнаки.

Доказ. Из дефиниције неутралних елемената следи да је Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): e'\circ e''=e'=e''

.

Деф. Ако у групоиду постоји Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): e\in G

тако да за свако Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): a\in G
важи Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): a\circ e=e\circ a=a

, тада се e назива неутралним елементом групоида Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): (G,\circ) .

Теорема. Групоид има највише један неутрални елемент.

Доказ. Ако претпоставимо да постоје неутрални елементи Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): e_1
и Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): e_2

, тада важи Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): e_1\circ e_2=e_1=e_2 , што доводи до контрадикције.

Деф. Семигрупа са неутралним елементом e назива се моноид. У моноиду се дефинише степен Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): a^0=e .

Личне алатке
Именски простори
Варијанте
Акције
Навигација
Алатке