Анализа (Математика 1)

Извор: ВикиЕТФ

Садржај

Кардинални број скупа

Деф. Ако су A и B бесконачни скупови, и постоји бијекција Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): f:A\rightarrow B

или Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): f:B\rightarrow A

, каже се се да су скупови A и B еквивалентни или истог кардиналног броја.

Напомена: Еквивалентност скупова је релација еквиваленције.

Деф'. Скуп еквивалентан скупу N назива се пребројив скуп и има кардинални број Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \chi_0

(алеф нула).

Теорема. Скуп Z је пребројив скуп.

Теорема. Скуп Q је пребројив скуп.

Деф. Скуп алгебарских бројева је скуп свих решења свих полиномских једначина са целобројним коефицијентима.

Деф. Трансцедентни бројеви су реални бројеви који нису алгебарски.

Теорема. Скуп алгебарских бројева је пребројив.

Теорема. Унија пребројиво много пребројивих скупова је пребројив скуп.

Скуп реалних бројева

Низови

Деф. (Реалан) низ (Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): a_n ) је свако пресликавање Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): a:N\rightarrow R


Деф. Ако се у произвољној околини тачке a налази бесконачно много чланова низа (Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): a_n ) каже се да је a тачка нагомилавања низа (Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): a_n ).

Деф. Ако се у околини тачке а налазе скоро сви чланови низа (Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): a_n ) тј. сви изузев коначно много. каже се да је а гранична вредност низа (Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): a_n ).

Деф'. Кажемо да низ (Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): a_n ) има граничну вредност а, Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \lim_{n\rightarrow \infty} a_n=a

 ако:

Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): (\forall \varepsilon > 0)(\exists N_0(\varepsilon))(\forall n>N_(\varepsilon))) |a_n-a|<\varepsilon


Деф. Ако низ има граничну вредност Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): a\in R , каже се да је низ конвергентан.

Теорема. Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \lim_{n\rightarrow \infty}a_n=a \Leftrightarrow (\exists c\in R)(\forall \varepsilon > 0)(\exists n_0(\varepsilon))(\forall n > n_0(\varepsilon)) |a_n-a| < c \varepsilon


Особине конвергентних низова

Деф. Низ (Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): a_n ) је ограничен ако: Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): (\exists m,M \in R)(\forall n) m<a_m<M


Деф'. Низ је ограничен ако: Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): (\exists M\in R,M>0)(\forall n) |a_n|<M


Теорема. Конвергентан низ јесте ограничен.

Доказ. Потребан.

Теорема. Ако је Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a, \lim_{n\rightarrow\infty}b_n=b

притом су Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): a,b\in R
тада је
1) Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \lim_{n\rightarrow \infty}(a_n\pm b_n)=a\pm b
2) Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \lim_{n\rightarrow \infty}(a_n\cdot b_n)=a\cdot b
3) Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \lim_{n\rightarrow \infty}(\frac{a_n}{b_n})=\frac{a}{b}, b_n,b \neq 0


Доказ. Потребан.

Последице.

1) Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \lim_{n\rightarrow \infty}(c\cdot a_n+d\cdot b_n)=c\cdot a+d\cdot b
2) Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \lim_{n\rightarrow \infty} a_n=a \Leftrightarrow \lim_{n\rightarrow \infty}(a_n-a)=0


Деф. Ако је Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \lim_{n\rightarrow \infty}a_n=0 , низ (Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): a_n ) је нула низ.

Теорема. Ако је (Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): a_n ) нула низ, а (Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): b_n ) ограничен низ, тада је низ (Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): c_n=a_n\cdot b_n ) нула низ.

Доказ. Потребан.

Бесконачне граничне вредности

Личне алатке
Именски простори
Варијанте
Акције
Навигација
Алатке