Анализа (Математика 2)

Извор: ВикиЕТФ

Садржај

Неодређени интеграл

Деф. Нека је функција Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): f

дефинисана на произвољном интервалу Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): I

. Ако постоји функција Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): F

таква да је Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): (\forall x\in I) F'(x)=f(x)

, каже се да је Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): F(x)

примитивна функција функције Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): f(x)
на Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): I

.

примери:

1)

Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): f(x)=2x
Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): F(x)=x^2+C


2)

Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): F(x)=x
Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): F'(x)=f(x)=1
Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): I=(0,+\infty)
Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): x>0 \Rightarrow x=|x|
Значи Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): F(x)=|x|
је примитивна функција функције Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): f(x)=1
на Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \mathbb{R}^+


3)

Analiza2-1.png


Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): F(x)=\int{f(x)}\, dx \Leftrightarrow F(x)=\int \, dF(x)
Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): d\int{f(x)} \, dx = dF(x) = f(x)dx \Rightarrow \frac{d}{dx} \int{f(x)} \, dx=f(x)
Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \int
- интеграл

Опште методе интеграције

Таблица основних интеграла

  1. Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \int {x^\alpha} \, dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}, \alpha\ne -1
  1. Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \int {\frac 1x} \, dx = \ln{|x|}
  1. Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \int {e^x} \, dx = e^x
  1. Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \int {a^x} \, dx = \frac{a^x}{\ln a}, a>0, a\ne 1
  1. Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \int {\frac{dx}{1+x^2}} = \operatorname{arctg} x = - \operatorname{arcctg} x
  1. Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \int {\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}} = \arcsin x = - \arccos x, |x| < 1
  1. Analiza2-2.png
  2. Analiza2-3.png
  3. Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \int {\sin x} \, dx = - \cos x
  1. Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \int {\cos x} \, dx = \sin x
  1. Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \int {\frac 1{\cos^2 x}} \, dx = \operatorname{tg} x
  1. Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \int {\frac 1{\sin^2 x}} \, dx = - \operatorname{ctg} x
  1. Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \int {\operatorname{sh} x} \, dx = \operatorname{ch} x
  1. Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \int {\operatorname{ch} x} \, dx = \operatorname{sh} x
  1. Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \int {\frac 1{\operatorname{ch}^2 x}} \, dx = \operatorname{th} x
  1. Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \int {\frac 1{\operatorname{sh}^2 x}} \, dx = - \operatorname{cth} x


Линеарност

Теорема. Ако функције Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): f

и Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): g
имају примитивне функције на Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): I

, тада функција Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \alpha f(x)+\beta g(x)

такође има примитивну функцију на Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): I
и Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \int{(\alpha f(x)+\beta g(x))} \, dx = \alpha \int{f(x)} \, dx + \beta \int{g(x)} \, dx
Доказ.
Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): d(\alpha \int{f(x)} \, dx + \beta \int{g(x)} \, dx) = \alpha d \int{f(x)} \, dx + \beta d \int{g(x)} \, dx = \alpha f(x)+\beta g(x)
Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \alpha \int{f(x)} \, dx + \beta \int{g(x)} \, dx = \int{(\alpha f(x)+\beta g(x))} \, dx


Смена променљиве

пример:

Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \int{\frac{2x}{1+x^2}} \, dx = \int{\frac{d(1+x^2)}{1+x^2}}=\ln{|1+x^2|}
Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): 1+x^2=t,
 Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): 2x dx = dt
Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \int{\frac{dt}{t}}=\ln{|t|}=\ln{|1+x^2|}


Теорема. Ако су на посматраном интервалу Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): I

функције Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): f

, Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \phi

и Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \phi '
непрекидне, ако функција Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): x=\phi(t)
има инверзну функцију Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \phi^{-1}=\phi^{-1}(x)
и ако је Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \phi '(t)\ne 0

, тада је: Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \int{f(x)} \, dx=\int{f(\phi(t))\phi '(t)} \, dt;

  Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.):  t=\phi^{-1}(x)

.

Доказ. Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \frac{d}{dx}\int{f(x)} \, dx = f(x);
  Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.):  \frac{d}{dx}\int{f(\phi(t))\phi '(t)} \, dt = \frac{d}{dt}(\int{f(\phi(t))\phi '(t)} \, dt)\frac{dt}{dx} = f(\phi(t))\phi '(t)\frac {1}{\phi '(t)} = f(x)


пример:

Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): F(x)=\int{\sqrt{1-x^2}} \, dx

, Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): |x| \le 1

Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): x=\sin t; t=\arcsin x; dx=\cos t dt
Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): F(x)=\int{\sqrt{1-\sin^2 t} \cos t} \, dt = \int{\sqrt{\cos^2 x} \cos t} \, dt = \int{\cos^2 t} \, dt = \frac 12 \int{(1+ \cos{2t})} \, dt
Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): 2t=u; 2dt=du
Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): F(x)=\frac 12 t + \frac 14 \int{\cos u} \, du = \frac 12 t + \frac 14 \sin 2t = \frac 12 t + \frac 12 \sin t \cos t = \frac 12 (\arcsin x + x \sqrt{1-x^2})


Парцијална интеграција

Теорема. Ако су Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): u

и Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): v
диференцијабилне функције исте независно променљиве Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): x

, тада Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \int{u} \, dv = uv - \int{v} \, du .

Доказ. Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): d(uv) = u dv + v du \Rightarrow uv=\int{u} \, dv + \int{v} \, du \Rightarrow \int{u} \, dv = uv - \int{v} \, du


пример:

1)

Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \int {\ln x} \, dx
Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \ln x=u; dx=dv; du=\frac 1x dx; v=x
Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \int {\ln x} \, dx = x \ln x - \int{x \frac 1x} \, dx = x \ln x - x

.

2)

Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): I=\int{\frac{x^2}{(1+x^2)^2}} \, dx
Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): x=u; dx=du; \frac {x}{(1+x^2)^2} \, dx = dv; v = \int{\frac{x}{(1+x^2)^2}} \, dx = \frac 12 \int{\frac{dt}{t^2}} = - \frac {1}{2(1+x^2)}; t=1+x^2
Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): I = - \frac {x}{2(1+x^2)} + \frac 12 \int{\frac{dx}{1+x^2}} = - \frac {x}{2(1+x^2)} + \frac 12 \operatorname{arctg} x

.

Свођење квадратног тринома на канонски облик

Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \int {\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}} \, dx, \int {\frac{dx}{1+x^2}} \, dx, \int {\frac{dx}{\sqrt{x^2\pm 1}}} \, dx, \int {\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}} \, dx, \int {\sqrt{1-x^2}} \, dx, \int {\sqrt{x^2+1}} \, dx, \int {\sqrt{x^2-1}} \, dx


пример:

Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \int{\frac{dx}{\sqrt{2x^2-x+2}}} = \frac{1}{\sqrt 2} \int{\frac{dx}{\sqrt{x^2-\frac x2 + \frac {1}{16} - \frac {1}{16} + 1}}} = \frac{1}{\sqrt 2} \int{\frac{dx}{\sqrt{(x - \frac 14)^2 + \frac {15}{16}}}} = \frac {4}{\sqrt{30}} \int{\frac{dx}{\sqrt{\frac {16}{15}(x - \frac 14)^2 + 1}}} =
Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \frac{4 (x- \frac 14)}{\sqrt{15}} = t \Rightarrow \frac {4}{\sqrt{15}} dx = dt
Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): = \frac{1}{\sqrt 2} \int{\frac{dt}{\sqrt{t^2+1}}} = \frac{1}{\sqrt 2} \ln{|t+\sqrt {t^2+1}|} + c = ...


Метода неодређених коефицијената

пример:

Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \int{(x^2+x+1)e^x} \, dx = (Ax^2 + Bx + C)e^x
Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \Rightarrow (x^2+x+1)e^x = (Ax^2 + (2A+B)x + (B+C))e^x \Rightarrow A=1, B=-1, C=2


Посебне методе интеграције

Интеграција рационалних функција

Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}

Ако је Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \operatorname{dg} P \ge \operatorname{dg} Q \Rightarrow \frac{P(x)}{Q(x)}=C(x)+\frac{R(x)}{Q(x)}, \operatorname{dg} R < \operatorname{dg} Q . Нека је зато Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} , где је Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \operatorname{dg} P < \operatorname{dg} Q . Она се разбије на парцијалне разломке:

а) Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \int {\frac{A}{x-a}} \, dx = A \int{\frac{d(x-a)}{x-a}}=A \ln{|x-a|}


б) Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \int {\frac{A}{(x-a)^k}} \, dx = A \frac{(x-a)^{-k+1}}{-k+1} (k=2, 3, 4...)


в) Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \int{\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}} \, dx (b^2-4ac<0)

Своди се на Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \int{\frac{A_1 t+B_1}{\pm t^2 \pm 1}} \, dt = A_1 \int{\frac{t dt}{\pm t^2 \pm 1}} +B_1 \int{\frac{dt}{\pm t^2 \pm 1}}


г) Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \int{\frac{Ax+B}{(ax^2+bx+c)^k}} \, dx (k=2, 3, 4...)

Нека се своди на Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \int {\frac{A_1 t+B_1}{(t^2+1)^2}} \, dt = A_1 \int{\frac{t dt}{(t^2+1)^2}} + B_1 \int{\frac{1+t^2-t^2}{(t^2+1)^2}} = ... + B_1 (\int{\frac{dt}{1+t^2}} - \int{\frac{t^2 dt}{1+t^2}})


пример:

Рашчлањивање није успело (Недостаје извршна датотека texvc-а. Погледајте math/README за подешавање.): \int{\frac{x+3}{x^2+2x+3}} \, dx = \frac 12 \int {\frac{2(x+1)+4}{x^2+2x+3}} \, dx = \frac 12 \int{\frac{dt}{t}} + \int{\frac{2 dx}{x^2+2x+3}} = \frac 12 \ln {|x^2+2x+3|} + \int {...}
Личне алатке
Именски простори
Варијанте
Акције
Навигација
Алатке